Zylindermantel
Radius R, Länge l
$$I_1=mR^2 $$
$$I_2=\frac{mR^2}{2}+\frac{ml^2}{12} $$
$$I_3=\frac{mR^2}{2}+\frac{ml^2}{12} $$
Vollzylinder
Radius R, Länge l
$$I_1=\frac{mR^2}{2} $$
$$I_2=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12} $$
$$I_3=\frac{mR^2}{4}+\frac{ml^2}{12} $$
Hohlzylinder
Radius R, Länge l
$$I_1=\frac{m}{2} (R_1^2+R_2^2) $$
$$I_2=\frac{m}{4} (R_1^2+R_2^2+\frac{l^2}{3}) $$
$$I_3=\frac{m}{4} (R_1^2+R_2^2+\frac{l^2}{3}) $$
Kugel
Radius R
$$I_1=\frac{2mR^2}{5}$$ $$I_2=\frac{2mR^2}{5}$$ $$I_3=\frac{2mR^2}{5}$$
Quader
Seite a, Seite b, Höhe l
$$I_1=\frac{m(a^2+b^2)}{12}$$ $$I_2=\frac{m(b^2+l^2)}{12}$$ $$I_3=\frac{m(a^2+l^2)}{12}$$
Kegel
Radius R, Höhe l
$$I_1=\frac{3mR^2}{10}$$ $$I_2=\frac{m(3R^2+2l^2)}{20}$$ $$I_3=\frac{m(3R^2+2l^2)}{20}$$
Massenträgheitsmomente
Was ist ein Massenträgheitsmoment?
Das Massenträgheitsmoment des starren Körpers kennzeichnet seine Trägheitseigenschaften. Die Trägheitseigenschaften beeinflussen wiederrum stark die Bewegung des Körpers.
Das Massenträgheitsmoment ist abhängig:
- von der Körpermasse
- von der Massenteilung des starren Körpers
- vom gewählten Bezugssystem
Massenträgheitsmomente werden u.a. für die Berechnung des Dralls benötigt. Die Trägheitseigenschaften des starren Körpers werden dabei durch die Massenträgheitsmomente beschrieben, welche in Matrix zusammengefasst sind. In der Hauptdiagonale finden sich Hauptträgheitsmomente, während sich in den Nebendiagonalen die Deviationsmomente befinden.
Trägheitshauptachsen
Es exisitiert für jeden Körper ein orthogonales Hauptachsensystem für das die Trägheitsmatrix Diagonalform animmt. Das bedeutet dass die Nebendiagonalen 0 werden, d.h. die Deviationsmomente Verschwinden. Wir nennen diese Achsen auch Trägheitshauptachsen und die zugehörigen Momente die Hauptträgheitsmomente.
Hinweise zu Trägheitshauptachsen
- Bei Rotationskörpern sind die Symmetrieachsen immer Trägheitshauptachsen.
- Bei spiegelsymmetrischen Körpern steht eine Hauptträgheitsachse immer senkrecht auf die Symmetriebene, die anderen zwei Hauptträgheitsachsen liegen innerhalb der Ebene
- Bei Körpern mit zwei Symmetrie-Ebenen ist die Schnittgerade immer eine Trägheitshauptachse
Schau dir den Versuch an!
Es geht doch nichts über einen Versuch zum Theme Massenverteilung und Massenträgheitsmoment. Dabei wirst du schnell feststellen worauf es ankommt ob sie ein Körper leicht oder schwer um eine Achse drehen lässt.